摘要：本文主要论述在控制点不能通视（无定向条件）的情况下导线测量计算问题，并以工程实例进行说明。
关键词：无定向、旋转、缩放
前言：
现在城市建设飞速发展，尤其象上海这样的国际化大都市，高楼大厦向雨后春笋一样冒出，这可能使的原有的控制点变的不再通视，这样就没有了推算各导线边方位角所必须的定向角，无法进行导线计算。本论文就是介绍一种当两控制点无法通视时的计算方法。
1 、 单一无定向角导线的闭合条件
单一无定向角导线的实质就是，两端均未观测定向角的单一附和导线，如图 1
对于有 n-1 个待定点的单一无定向角导线，其必要观测值为 2 （ n-1 ）个，而观测值为 n+(n-1) 个，即 n 条边和 n-1 个导线角，故多余观测的个数为 n+(n-1)-2(n-1)=1 个。由于未测定向角，故这个多余观测条件为长度闭合条件。
2 、 计算思路
单一无定向角导线两端的定向角没有观测，但推算各导线边方位角却需要至少知道一个定向角，这是单一无定向角导线平差计算的困难所在。解决的途径是：将第一条导线的方位角进行假设，以假设方位角作为起始坐标方位角，利用该起始方位角和各导线角观测值计算所有导线边的方位角推算值，进而再利用导线边的观测值计算终点的坐标。
由于起始边的定向不正确（假设的）和导线角与导线边观测误差的影响，将导致终点的计算点位与实际点位不相符合，为消除这个矛盾，可采用导线固定边（如上图中 AB 边）的已知长度和已知方位角分别作为导线的尺度标准和定向标准对导线进行缩放和旋转，从而使终点的计算点位与实际点位相符，以达到单一无定向角导线平差的目的。
3 、 无定向角导线近似平差的计算公式
如图 1 所示， A 、 B 为已知点，其坐标为 xA 、 Ya ， xB 、 yB ，固定边 AB 的边长和方位角为 DAB 和 αAB ；导线角、导线边的观测值和平差值分别为 βi 、 Di 和 β´i 、 D´i ；待定导线点坐标的计算值和平差值分别为 xi 、 yi 和 xi´ 、 yi´ 。
如果令起始边 A1 的假定方位角为 αA1 ，则根据导线角的观测值 βi 即可推求各导线边方位角的计算值，进而计算各导线边坐标增量的计算值；对各导线边坐标增量计算求其和，即得固定边 AB 的坐标增量计算 Δx´AB 、 Δy´AB 。据此，可计算出固定边的边长计算值 D´AB 、和方位角计算值 α´AB 。
若令导线的旋转角和缩放比为 vα 和 Q ，则有：
DA1/D´A1= DA2/D´A2=……DAB/D´AB=Q (1)
α´A1 － αA1=α´A2 － αA2=……α´AB － αAB=vα (2)
由于 Δx´Ai=x´i － xA=D´Ai·cosα´Ai ； Δy´Ai=y´i － yA=D´Ai·sinα´Ai ；顾及到（ 1 ）和（ 2 ）有：
Δx´Ai= Q·DAi·cos(αAi+ vα)
= Q·DAi·(cosαAi·cos vα － sinαAi ·sin vα)
Δy´Ai= Q·DAi·sin(αAi+ vα)
= Q·DAi·(sinαAi·cos vα+ cosαAi ·sin vα)
再令 Q1= Q·cos vα ； Q2= Q·sin vα ，并顾及到 ΔxAi= DAi ·cosαAi ； ΔyAi= DAi ·sinαAi ，则有：
Δx´Ai= Q1·ΔxAi － Q2·ΔyAi (3-1)
Δy´Ai= Q1·ΔyAi+Q2·ΔxAi (3-2)
作为（ 3-1 ）（ 3-2 ）的特例则有：
ΔxºAB= Q1·ΔxAB － Q2·ΔyAB
ΔyºAB= Q1·ΔyAB+Q2·ΔxAB
在上式中， ΔxºAB 、 ΔyºAB 为已知值， ΔxAB 、 ΔyAB 可由假定起始方位 αAB 和导线角与导线边观测值 βi 、 Dij 计算而得，因而可由此解出 Q1 、 Q2 ，即：
Q1 ＝（ ΔxAB·ΔxºAB ＋ ΔyAB·ΔyºAB ）／
（（ ΔxAB ） ²+ （ ΔyAB ） ² ） （ 4-1 ）
Q2 ＝（ ΔxAB·ΔyºAB ＋ ΔyAB·ΔxºAB ）／
（（ ΔxAB ） ²+ （ ΔyAB ） ² ） (4-2)
将由式（ 4-1 ）（ 4-2 ）计算而得的 Q1 、 Q2 代入式（ 3-1 ）（ 3-2 ），可得按各待定导线点坐标计算值 xi 、 yi 计算其平差值的公式，即：
x´i ＝ xA ＋ Q1 （ xi － x Ａ）－ Q ２（ yi － y Ａ） (5-1)
y´i ＝ yA ＋ Q1 （ yi － y Ａ） +Q ２（ xi － x Ａ） (5-2)
4 、 无定向角导线计算应用实例
图 2 为上海地铁 M8 线管线测量布设的无定向角导线，导线的起始数据见下表：
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点号 |
X m |
Y m |
坐标方位角 º." |
边长 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T815 |
1978.814 |
-371.917 |
|||
|
|
|
||||
|
T813 |
3842.578 |
962.054 |
|||
|
|
|
||||
|
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|
该单一无定向角导线平差计算表
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点 名 |
观测角值 º ´ " |
观测 边长 m |
假定坐标方位角 º´" |
假定坐标增量 |
假定坐标 |
坐标平差值 |
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|
Δx m |
Δy m |
X m |
Y m |
x´ m |
y´ m |
|||||
|
T815 |
|
|
|
|
|
1978.814 |
-371.917 |
|
|
|
|
210.823 |
51 15 25 |
131.939 161.749 |
164.434 37.985 |
|||||||
|
D1 |
141 57 32 |
2110.753 2272.502 |
-207.483 -169.498 |
2160.887 |
-265.378 |
|||||
|
166.149 |
13 12 57 |
282.806 175.029 |
-9.401 46.237 |
|||||||
|
D2 |
164 52 49 |
2555.308 2730.336 |
-178.899 -132.662 |
2325.637 |
-287.674 |
|||||
|
282.962 |
358 05 46 |
163.923 138.849 |
47.617 1.692 |
|||||||
|
D3 |
196 42 06 |
2894.259 3033.108 |
-85.045 -83.352 |
2586.598 |
-397.518 |
|||||
|
181.033 |
14 47 52 |
-5.313 161.319 |
113.659 -12.846 |
|||||||
|
D4 |
181 24 00 |
3027.796 3189.115 |
30.306 17.461 |
2766.709 |
-416.847 |
|||||
|
170.699 |
16 11 52 |
54.600 129.964 |
225.794 285.423 |
|||||||
|
D5 |
164 30 02 |
3243.715 3373.679 |
243.255 528.678 |
2936.933 |
-430.918 |
|||||
|
138.859 |
0 41 54 |
102.739 47.678 |
147.871 166.103 |
|||||||
|
D6 |
271 58 40 |
3476.418 3524.096 |
676.549 842.652 |
3067.311 |
-478.951 |
|||||
|
113.783 |
92 40 34 |
169.256 -450.833 |
304.485 391.355 |
|||||||
|
D7 |
82 46 16 |
3693.352 3242.519 |
1147.137 1538.492 |
3102.960 |
-370.823 |
|||||
|
161.830 |
355 26 50 |
131.939 161.749 |
164.434 37.985 |
|||||||
|
D8 |
260 57 32 |
2110.753 2272.502 |
-207.483 -169.498 |
3249.145 |
-440.475 |
|||||
|
232.302 |
76 24 22 |
282.806 175.029 |
-9.401 46.237 |
|||||||
|
D9 |
169 06 44 |
2555.308 2730.336 |
-178.899 -132.662 |
3380.860 |
-248.949 |
|||||
|
313.619 |
65 31 06 |
163.923 138.849 |
47.617 1.692 |
|||||||
|
D10 |
169 41 26 |
2894.259 3033.108 |
-85.045 -83.352 |
3604.322 |
-28.624 |
|||||
|
180.059 |
55 12 32 |
-5.313 161.319 |
113.659 -12.846 |
|||||||
|
D11 |
198 46 32 |
3027.796 3189.115 |
30.306 17.461 |
3753.185 |
72.870 |
|||||
|
172.810 |
73 59 04 |
54.600 129.964 |
225.794 285.423 |
|||||||
|
D12 |
166 56 49 |
3243.715 3373.679 |
243.255 528.678 |
3857.101 |
211.078 |
|||||
|
348.366 |
60 55 53 |
102.739 47.678 |
147.871 166.103 |
|||||||
|
D13 |
258 06 30 |
3476.418 3524.096 |
676.549 842.652 |
4124.098 |
435.180 |
|||||
|
597.000 |
139 02 23 |
169.256 -450.833 |
304.485 391.355 |
|||||||
|
T813 |
|
3693.352 |
1147.137 |
3842.578 |
962.054 |
|||||
|
-450.833 |
391.355 |
|||||||||
Q1=0.93463694 ； Q2=-0.357336303 。
采用以上无定向角导线的平差计算方法解决了两已知点的不通视问题。